Kesirlerde Bölme
Açıklama : Bu yazı kesirlerde bölme işlemini modelleyerek kavramsal ( kesirlerde bölmenin aslında ne anlama geldiğini ) anlatmak için uzun emekler sonucu ortaya çıkmıştır .
Anlamada zorlandığınızda , biraz ara verip tekrar devam ediniz . Kavramsal bölmeyi bir kez kavradığınızda herşeyin çok daha mantıklı olduğunu göreceksiniz , yoksa klasik olarak anlatılan kesirlerde bölme işlemi için " birinci kesir aynı kalsın , ikinci kesri ters çevir çarp" şeklinde anlatım isteyenler bu konuya bakabilir.
Uzun bir konudur , sabrınız için teşekkürler.
Kesirlerde bölmeyi kavrayabilmek için öncelikle bölme ne demek bakalım ;
Bölme Kavramı
Bölme ; eş gruplandırmak demektir .
Grup sayısı x Her bir gruptaki eleman sayısı= Bölünen sayı
24:6 nın anlamına bakalım :
1.Anlamı : 6 adet grup yaptığımda her bir grupta ne kadar olur ? / kaç tane gelir ?
24 adet bilyem olsun ve bu bilyeleri 6 adet kova yapıp bunların içine tek tek yerleştireyim ..
2.Anlamı : 24 ü 6 şarlı olarak grupladığımda kaç grup oluşur ?
( 24 ün içinde kaç tane 6 vardır ? sorusunun cevabıdır )
24 bilyeyi 6şarlı olarak gruplandırdığıdıma 4 eş grup oluştu ..
Görüldüğü gibi bölmenin birbirine yakın iki anlamı vardır ya kaç gruba ayıracağınız belli olmalı, ya da bir grupta kaç tane olacağı belli olmalı ki , kaç grup elde edebileceğinizi bulabilelim .
Bölmenin temel mantığı , kesirlerde bölme için de geçerlidir .
Kesirlerde Bölme
Tamları kesirlere bölme
Örnek ;
$$4:\frac{2}{3}$$
4 ün içinde kaç tane \(\frac{2}{3}\) var ?
Elimizde 4 tam olduğunu düşünelim ve bunu \(\frac{2}{3}\) lik gruplara ayıralım .
3 tam aldık ve \(\frac{2}{5}\) lik parçalara ayırdık , 7 tane tam \(\frac{2}{5}\) oldu , beyaz kalan yer , \(\frac{2}{5}\) lik parça değil , peki beyaz olan yeri nasıl ifade edebiliriz ?
Yanda 1 tane \(\frac{2}{5}\) görüyorsuuz , ( yukarıda var ) 2 parçadan oluşmakta.
2 parça 1 tane \(\frac{2}{5}\) den oluşmakta ise , 1 parça yarım \(\frac{2}{5}\) dir . o halde toparlayalım ;
7 tane \(\frac{2}{5}\) + yarım \(\frac{1}{2 }\) tane \(\frac{2}{5}\) = \(7\frac{1}{2}\) tane \(\frac{2}{5}\) .
Sonuç ; $$3:\frac{2}{5}=7\frac{1}{2}$$
Örnek ; $$5:\frac{3}{4}$$
5 in içerisinde kaç tane \(\frac{3}{4}\) var ?
5 tam alalım ve \(\frac{3}{4}\) lük parçalara ayıralım .
5 tam aldık ve \(\frac{3}{4}\) lük gruplara ayırdık. Şu anda 6 tane tam grup oluşturabildim . ( Renklere dikkat edin , 6 grup var ) Ve hala elimde, 2 tane beyaz renklendirilmemiş bölgem var. Buranın ne kadarlık bir grup olduğunu bulmam gerekiyor .
Biz yandaki \(\frac{3}{4}\) lük parçaya 1 grup demiştik . Bir grup 3 parçadan oluşmakta.
3 parçadan oluşan bir şekil 1 grup sayılıyorsa , 2 parçadan oluşan bir grup ne kadarlık bir grup sayılmalı ?
Yukarıdaki şekil 3 parça \(\frac{3}{3}\) temsil etse , 2 parça \(\frac{2}{3}\) temsil eder .
Yani ??? işareti ile gösterilen parçalar da \(\frac{2}{3}\) lik bir grup .
O halde elimizde kaç grup var bakalım ;
6 tane tam \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{2}{3}\) tane \(\frac{3}{4}\) = \(6\frac{2}{3}\) tane \(\frac{3}{4}\)
Sonuç ; $$5:\frac{3}{4}=6\frac{2}{3}$$
Örnek ;
$$4:\frac{2}{3}$$
4 ün içinde kaç tane \(\frac{2}{3}\) var ?
Elimizde 4 tam olduğunu düşünelim ve bunu \(\frac{2}{3}\) lik gruplara ayıralım .
3 tam aldık ve \(\frac{2}{5}\) lik parçalara ayırdık , 7 tane tam \(\frac{2}{5}\) oldu , beyaz kalan yer , \(\frac{2}{5}\) lik parça değil , peki beyaz olan yeri nasıl ifade edebiliriz ?
2 parça 1 tane \(\frac{2}{5}\) den oluşmakta ise , 1 parça yarım \(\frac{2}{5}\) dir . o halde toparlayalım ;
7 tane \(\frac{2}{5}\) + yarım \(\frac{1}{2 }\) tane \(\frac{2}{5}\) = \(7\frac{1}{2}\) tane \(\frac{2}{5}\) .
Sonuç ; $$3:\frac{2}{5}=7\frac{1}{2}$$
Örnek ; $$5:\frac{3}{4}$$
5 in içerisinde kaç tane \(\frac{3}{4}\) var ?
5 tam alalım ve \(\frac{3}{4}\) lük parçalara ayıralım .
Biz yandaki \(\frac{3}{4}\) lük parçaya 1 grup demiştik . Bir grup 3 parçadan oluşmakta.
3 parçadan oluşan bir şekil 1 grup sayılıyorsa , 2 parçadan oluşan bir grup ne kadarlık bir grup sayılmalı ?
Yukarıdaki şekil 3 parça \(\frac{3}{3}\) temsil etse , 2 parça \(\frac{2}{3}\) temsil eder .
Yani ??? işareti ile gösterilen parçalar da \(\frac{2}{3}\) lik bir grup .
O halde elimizde kaç grup var bakalım ;
6 tane tam \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{2}{3}\) tane \(\frac{3}{4}\) = \(6\frac{2}{3}\) tane \(\frac{3}{4}\)
Sonuç ; $$5:\frac{3}{4}=6\frac{2}{3}$$
Kesirleri tamlara bölelim
$$\frac{2}{3}:4$$
Öncelikle bu bölmenin ne anlama geleceğine bakalım :
- anlamı : \(\frac{2}{3}\) nin içinde kaç tane 4 var ?
- anlamı : \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayırırsak , bir grupta kaç / ne olur ?
1.anlamı kulağa mantıksız geliyor çünkü \(\frac{2}{3}\) nin içinde 4 olması imkansız .
ikinci anlama göre , \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayırırsak , bir grupta kaç / ne olduğuna bakabiliriz.
Elinizde \(\frac{2}{3}\) parçalık bir pizza olduğunu düşünün ve bunu 4 arkadaş eş olarak paylaşacaksınız .
\(\frac{2}{3}\) yi düşünürsek , elimizde \(\frac{1}{3}\)lik parçalardan 2 tane var değil mi ? ama biz 4 kişiyiz , o halde herkese pizza düşebilmesi için o parçaları daha da küçük parçalara ayırmamız lazım .
O halde , \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayıralım ,
öncelikle \(\frac{2}{3}\) yi oluşturalım ;
Şimdi \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayırayım.
Bu gördüğünüz parça eş gruplardan
bir tanesi . Yani bir kişiye düşecek olan parça ..
..
Peki bu parça / şekil ne kadarı
temsil ediyor ?
(Beyaz kesikli çizgilerle dikey olarak bölmeyi tercih ettim , siz yatay olarak da bölebilirsiniz, hatta daha kolaydır .)
Kesirlerin Temel kuralı : Bir şeyi kesir olarak ifade edebilmemiz için bütünün eş
parçalarından biri olması gerekir .
o halde bütünü eş parçalara ayıralım :
( Dikkat ! , yukarıdaki yaptığımız gruplamada sadece sarı olan bölge eş parçalara ayrılmıştı , şimdi beyaz olan yerler de eş parçalara ayrıldı ki , yukarıdaki yaptığımız gruplamanın , bütünün tamamının kaçta kaçına denk geldiğini bulabilelim )
Bir bütün 12 eş parçaya ayrılmış oldu . Benim amacım bir grubun ( yani 2 parçanın ) kaçta kaça denk geldiğini bulabilmek.
12 eş parçada 2 parça o halde sonuç ;
$$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{12}$$
Örnek ; $$\frac{3}{5}:3$$
Bölmenin anlamına bakalım ;
\(\frac{3}{5}\) ü 3 eş gruba ayırırsak bir grupta kaç / ne olur ?
Daha önce birim kesirleri iyi öğrendiyseniz bunu mantıksal olarak hemen yapabilirsiniz .
\(\frac{3}{5}\) kesri , 3 tane \(\frac{1}{5}\) lerden oluşmuştur .
$$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$$
o halde sonuç \(\frac{1}{5}\) dir.
Bir kez de modelleyerek gösterelim ;
\(\frac{3}{5}\) 3 eş gruba ayrılınca her bir grup otomatikman, \(\frac{1}{5}\) i temsil etmiş oldu.
Örnek ;
$$\frac{3}{5}:5$$
Anlamı : \(\frac{3}{5}\) ü 5 eş gruba ayırırsam kaç / ne elde ederim ?
Öncelikle \(\frac{3}{5}\) ü gösterelim ;
Taralı olan kısmı 5 eş parçaya ayıralım ,
( kesikli çizgilerle dikey olarak ayırdım )
Gruplara ayırayım ;
Kesirlerin Temel kuralı : Bir şeyi kesir olarak ifade edebilmemiz için bütünün eş
parçalarından biri olması gerekir .
o halde komple bütünü eş parçalara ayırayım ;
Bütünüm 25 eş parçaya bölünmüş oldu , grubumda ise 3 tane parça var
o halde sonuç ; $$\frac{3}{5}:5=\frac{3}{25}$$
$$\frac{2}{3}:4$$
Öncelikle bu bölmenin ne anlama geleceğine bakalım :
- anlamı : \(\frac{2}{3}\) nin içinde kaç tane 4 var ?
- anlamı : \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayırırsak , bir grupta kaç / ne olur ?
1.anlamı kulağa mantıksız geliyor çünkü \(\frac{2}{3}\) nin içinde 4 olması imkansız .
ikinci anlama göre , \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayırırsak , bir grupta kaç / ne olduğuna bakabiliriz.
Elinizde \(\frac{2}{3}\) parçalık bir pizza olduğunu düşünün ve bunu 4 arkadaş eş olarak paylaşacaksınız .
\(\frac{2}{3}\) yi düşünürsek , elimizde \(\frac{1}{3}\)lik parçalardan 2 tane var değil mi ? ama biz 4 kişiyiz , o halde herkese pizza düşebilmesi için o parçaları daha da küçük parçalara ayırmamız lazım .
O halde , \(\frac{2}{3}\) yi 4 eş gruba ayıralım ,
öncelikle \(\frac{2}{3}\) yi oluşturalım ;
Bu gördüğünüz parça eş gruplardan
bir tanesi . Yani bir kişiye düşecek olan parça ..
..
Peki bu parça / şekil ne kadarı
temsil ediyor ?
(Beyaz kesikli çizgilerle dikey olarak bölmeyi tercih ettim , siz yatay olarak da bölebilirsiniz, hatta daha kolaydır .)
Kesirlerin Temel kuralı : Bir şeyi kesir olarak ifade edebilmemiz için bütünün eş
parçalarından biri olması gerekir .
o halde bütünü eş parçalara ayıralım :
( Dikkat ! , yukarıdaki yaptığımız gruplamada sadece sarı olan bölge eş parçalara ayrılmıştı , şimdi beyaz olan yerler de eş parçalara ayrıldı ki , yukarıdaki yaptığımız gruplamanın , bütünün tamamının kaçta kaçına denk geldiğini bulabilelim )
Bir bütün 12 eş parçaya ayrılmış oldu . Benim amacım bir grubun ( yani 2 parçanın ) kaçta kaça denk geldiğini bulabilmek.
12 eş parçada 2 parça o halde sonuç ;
$$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{12}$$
Örnek ; $$\frac{3}{5}:3$$
Bölmenin anlamına bakalım ;
\(\frac{3}{5}\) ü 3 eş gruba ayırırsak bir grupta kaç / ne olur ?
Daha önce birim kesirleri iyi öğrendiyseniz bunu mantıksal olarak hemen yapabilirsiniz .
\(\frac{3}{5}\) kesri , 3 tane \(\frac{1}{5}\) lerden oluşmuştur .
$$\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$$
o halde sonuç \(\frac{1}{5}\) dir.
Bir kez de modelleyerek gösterelim ;
\(\frac{3}{5}\) 3 eş gruba ayrılınca her bir grup otomatikman, \(\frac{1}{5}\) i temsil etmiş oldu.
Örnek ;
$$\frac{3}{5}:5$$
Anlamı : \(\frac{3}{5}\) ü 5 eş gruba ayırırsam kaç / ne elde ederim ?
Öncelikle \(\frac{3}{5}\) ü gösterelim ;
( kesikli çizgilerle dikey olarak ayırdım )
Gruplara ayırayım ;
Kesirlerin Temel kuralı : Bir şeyi kesir olarak ifade edebilmemiz için bütünün eş
parçalarından biri olması gerekir .
o halde komple bütünü eş parçalara ayırayım ;
Bütünüm 25 eş parçaya bölünmüş oldu , grubumda ise 3 tane parça var
o halde sonuç ; $$\frac{3}{5}:5=\frac{3}{25}$$
Kesirleri , kesirlere bölme
$$\frac{1}{2}:\frac{1}{4}$$
Öncelikle ne anlama gelebileceğine bakalım ,
\(\frac{1}{2}\) nin içinde kaç tane \(\frac{1}{4}\) var ?
\(\frac{1}{2}\) yi \(\frac{1}{4}\) lük gruplara ayırmam lazım .
Öncelikle \(\frac{1}{2}\) oluşturayım
\(\frac{1}{2}\) içerisinde 2 tane \(\frac{1}{4}\) var .
$$\frac{1}{2}:\frac{1}{4}$$
Öncelikle ne anlama gelebileceğine bakalım ,
\(\frac{1}{2}\) nin içinde kaç tane \(\frac{1}{4}\) var ?
\(\frac{1}{2}\) yi \(\frac{1}{4}\) lük gruplara ayırmam lazım .
Öncelikle \(\frac{1}{2}\) oluşturayım
\(\frac{1}{2}\) içerisinde 2 tane \(\frac{1}{4}\) var .
Sonuç 2
Örnek ;
$$\frac{3}{4}:\frac{2}{5}$$
Öncelikle işlemin ne anlama geldiğine bakalım ;
- Anlamı :\(\frac{3}{4}\) içerisinde kaç / ne kadar \(\frac{2}{5}\) var ?
- Anlamı :\(\frac{3}{4}\) ü her bir grupta \(\frac{2}{5}\) olacak şekilde ayırdığımda kaç grup elde ederim ?
Daha kolay gruplandırma için birim kesirleri eşleyelim , nedeni aynı cinse getirmeliyim ki gruplandırabileyim , Bir
çuvalın içinde elmalarla armutlar olsun , bunları nasıl gruplandırabilirsiniz ? Eğer sadece elmalar olsaydı
örneğin ;3 er 3 er ya da 5 er 5 er gruplandırabilirdim. Eşledikten sonra neden eşlediğimi daha kolay anlayacaksınız.
( Bu kısmı anlatmakta zorluk çektiğimin farkındayım , daha iyi bir açıklama üzerinde çalışıyorum )
$$\frac{3}{4}.\frac{5}{5}=\frac{15}{20}=15-tane-\frac{1}{20}$$
$$\frac{2}{5}.\frac{4}{4}=\frac{8}{20}=8-tane-\frac{1}{20}$$
Birim kesirleri \(\frac{1}{20}\) de eşledik . Şimdi bölme işlemimiz şu hale geldi ;
$$\frac{15}{20}:\frac{8}{20}=$$
- \(\frac{15}{20}\) içerisinde kaç tane \(\frac{8}{20}\) vardır ?
- \(\frac{15}{20}\) i \(\frac{8}{20}\) lik gruplara ayırdığımda kaç grup elde ederim ?
2.sinden devam edelim , yani \(\frac{15}{20}\) i \(\frac{8}{20}\) lik gruplara ayırdığımda kaç / ne kadar grup olduğuna bakmalıyım .
Elimde 15 tane \(\frac{1}{20}\) var ve bunları , 8 erli gruplara ayırmalıyım .
1 tam grup oluşturabildim ( siyah olan ) ama 2.grup ( pembe ) tam oluşmadı .
Her grup , 8 tane parçadan oluşuyor , 2.grupta 7 parça var , eğer 8 parça olsaydı 2.grubum tam olarak oluşacaktı ,
o halde buna ne demeliyim ?
8 parça 1 grup ise , 1 parça \(\frac{1}{8}\) lik bir gruptur , 7 parça ise \(\frac{7}{8}\) lik bir grup olur .
1 tam grup ve \(\frac{7}{8}\) lik bir grubum var . o halde sonuç ;
$$1\frac{7}{8}$$
$$\frac{3}{4}:\frac{10}{6}$$
Öncelikle birim kesirleri eşleyelim ki , daha kolay gruplandırabilelim .
$$\frac{3}{4}.\frac{6}{6}=\frac{18}{24}$$
$$\frac{10}{6}.\frac{4}{4}=\frac{40}{24}$$
Birim kesirleri \(\frac{1}{24}\): de eşledik .
işlem şu hale geldi ;
$$\frac{18}{24}:\frac{40}{24}$$
Ne anlama gelir ?
- \(\frac{18}{24}\) de kaç tane \(\frac{40}{24}\) var ?
- \(\frac{18}{24}\) i \(\frac{40}{24}\) lık gruplara ayırdığımda kaç grup elde ederim ?
Hemen şunu diyebilirsiniz , iyi de \(\frac{18}{24}\) in içinde \(\frac{40}{24}\) yokki . \(\frac{40}{24}\) daha büyük bir kesir . Aslında haklısınız .
Şöyle , \(\frac{18}{24}\) in içinde \(\frac{40}{24}\) bir tam olarak yok .
Yani daha 1 grup oluşturamıyorsunuz. o halde bulacağınız sonuç mutlaka 1 den küçük bir sonuç olmalı öyle değil mi?
Elimizde parça uzunlukları \(\frac{1}{24}\) olan 18 tane parçacık olsun , bunların 40 tanesi bir grup ediyor .
Amacımız 18 tanesinin kaç / ne kadar grup ettiğini bulabilmek.
Her bir parçayı \(\frac{1}{40}\) lik bir grup olarak alabiliriz , 40 tane \(\frac{1}{40}\) yani \(\frac{40}{40}\) 1 tam grup yapar .
o halde 18 tane \(\frac{1}{40}\) , \(\frac{18}{40}\) lik bir grup yapar .
o halde sonuç ;
$$\frac{3}{4}:\frac{10}{6}=\frac{18}{40}$$
Bu anlatımı pdf şeklinde indirebilirsin
Tüm matematik pdf anlatımları için tıkla
Yorumlar
Yorum Gönder