Tam sayılarda çarpma ve bölme
Öncelikle klasik anlatıma bakalım , daha sonra her bir işlemi anlamlandıralım .
Tam sayılarda çarpma ve bölmenin kuralları aynıdır .
işaretlerin durumu ;
Aynı işaretlerin çarpımı + , Pozitiftir
Zıt işaretlerin çarpımı - , Negatiftir.
Şimdi işlemleri yapalım ;
“işaretle işaret , sayıyla sayı”
çarpılır ya da bölme ise bölünür.
+ , ile + nın çarpımı + dır .
9 ile 5 in çarpımı 45 dir
- ile - nin çarpımı + dır .
6 ile 5 in çarpımı 30
+ ile - nin çarpımı - dir .
7 ile 3 ün çarpımı 21 .
- ile + nın çarpımı - dir.
6 ile 8 in çarpımı 48
Çarpmada geçerli olan kurallar bölme için de geçerlidir ,
+ , + ya bölündü sonuç + oldu.
32 , 8 e bölündü sonuç 4 oldu.
- , - ye bölündü sonuç + oldu.
24 , 8 e bölündü sonuç 3 oldu .
- , + ya bölündü sonuç -
42 , 7 ye bölündü sonuç 6 oldu.
+ , - ye bölündü sonuç - oldu.
30 , 15 e bölündü sonuç 2 oldu.
Şimdi neden böyle olduğunu daha detaylı olarak inceleyelim ;
Çarpmanın anlamı ve işaretler
Pozitifle , pozitifin çarpımı ( + ) . (+ ) = ( + )
"Çarpma tekrarlı toplamadır"
Bunu ilkokuldan itibaren yapıyorsunuz , sadece işaretlerini koymuyorduk . 3 ile 5 i çarptığımda aslında +3 ile +5 i çarpıyoruz .
Örneğin ;
3 . 5 = 3 tane 5 i topla , ya da 5 tane 3 ü topla anlamlarına gelir .
( çünkü çarpmada değişme özelliği var )
+ 15
3 tane +5 in toplamı = + 15 yapar.
+15
5 tane 3 ün toplamı ; 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 yapar.
( + 3 ) . ( + 5 ) işleminin 3. 5 işleminden bir farkı yoktur .
3 . 5 de >> 3 tane 5 ya da 5 tane 3 ..
Pozitifle , Negatifin çarpımı ( + ) . ( - ) = ( - )
( +5 ) . ( - 3 ) ya da ( - 5 ) . ( + 3 ) işlemlerinin ne anlama gelebileceğine bakalım ;
5 tane -3 ün toplamı ya da 3 tane -5 in toplamı kaçtır ? anlamlarına gelir .
5 tane -3 = -15
3 tane -5 = - 15
Negatifle , Negatifin çarpımı ( - ) . ( - ) = ( + )
Negatifle , negatifin çarpımı neden pozitif yapar ? anlaşılması en zor olan durumlardan biridir .
3 ile 5 i çaptığınızda bunun anlamı 3 tane 5 in toplamıdır , ya da 5 tane 3 ün ..peki ,
( -3 ) . ( -5 ) in anlamı ne olabilir ? , -3 tane -5 ..nasıl olacak ? pek mantıksal gözükmüyor ..
Bunun ispatını bu seviyede sizlere göstermeyeceğiz ancak , bir örüntüyle negatifle negatifin çarpımın ne olması gerektiğini yorumlayalım ;
Örüntünün sağ ve sol kısımlarına dikkat edin , 3..2..1..0 ve -1 ..-12 , - 8 , -4 , 0 ve -1
Sağ kısımlara baktığımızda , -12 , -8 , -4 , 0 ve ??
sayı doğrusunu hatırlayalım ;
Bölmenin anlamı ve işaretler
Bölme ; Eş gruplandırma demektir.
Verilen bir topluluktan ya grup sayınız ya da bir gruptaki sayı ( madde miktarı ) belli olup , kaç eş grup elde edebileceğimizi hesaplamaktır. Anlaşılması zor olabilir ..
Pozitifle , pozitifin bölümü , ( + ) : ( + ) = +
Bölmeyi ilkokuldan itibaren yapıyorsunuz , sadece işaretlerini koymuyordunuz .
( + 12 ) : ( + 3 ) işlemini modelleyelim ;
( + 12 ) : ( + 3) ile , 12:3 arasında herhangi bir fark yoktur .
12:3 anlamı ;
12 yi 3 gruba ayırdığımızda bir grupta kaç olur ? ya da ,
bir grupta 3 tane olacak şekilde ayırdığımızda kaç grup oluşur ?
( + 12 ) : ( + 3 ) = 4
12 yi üç gruba ayırdık , her bir grupta 4 tane + oldu . Sonuç +4
+ 12 yi , her bir grupta +3 olacak şekilde grupladığımda 4 tane grup elde ettim .
Negatifin , Negatife Bölümü ( - ) : ( - ) = +
( - 6 ) : ( -2 ) ifadesinin ne anlama geldiğine bakalım ;
( -6 ) yı , -2 gruba ayırdığımda her bir grupta kaç olur ?
( -6 ) yı her bir grupta -2 tane olacak şekilde ayırdığımda kaç grup oluşur ?
-2 grup kulağa biraz saçma geliyor .. -2 tane grup nasıl oluşturabiliriz ki ?
En iyisi diğer anlama bakalım ;
-6 yı , her bir grupta -2 olacak şekilde gruplara ayıralım ;
-6 yı her bir grupta -2 olacak şekilde gruplara ayırdığımda 3 grup elde ettim , dolasıyıla negatifin , negatife bölümü pozitiftir .
Negatifin pozitife bölümü ( - ) : ( + ) = ( - )
( - 6 ) : ( +2 ) ye bölelim ;
-6 nın +2 ye bölünmesinin anlamı ;
- -6 yı 2 gruba ayırdığımızda her bir grupta kaç olur ? ya da -6 yı bir grupta +2 olacak şekilde eş gruplara ayırdığımızda kaç grup elde edebilirim .
- -6 nın , her bir grupta +2 olacak şekilde gruplara ayrılması kulağa biraz mantıksız geliyor , en iyisi -6 yı 2 gruba ayıralım ve bi grupta kaç var ona bakalım .
-6 yı , 2 gruba ayırdığımda her bir grupta -3 var ..
Dolayısıla , negatifin , pozitife bölümü negatiftir .
Pozitifin , negatife bölümü ( + ) : ( - ) = ( - )
Modellemesi en zor durumlardan biri pozitifin negatife bölümüdür , çünkü bölmenin anlamından yola çıkarak bir yere varamıyoruz .
Bakalım ;
( + 6 ) : ( -2 ) nin anlamı ;
- +6 yı , her bir grupta -2 olacak şekilde gruplara ayırdığımda kaç grup elde edebilirim ?
- +6 yı -2 tane gruba ayırdığımda bir grupta kaç olur ?
Her iki cümle de , kulağa biraz mantıksız gelmekte , bakalım ;
- “+6 yı , her bir grupta -2 olacak şekilde gruplara ayırdığımda kaç grup elde edebilirim ?” elimizde 6 tane pul olduğunu düşünelim , her bir grupta -2 elde etmem lazım , + pullardan , + sayılardan nasıl - elde edebileceğim ?
- +6 yı -2 tane gruba ayırdığımda bir grupta kaç olur ? Gruplar somut birşeydir , peki -2 grup nasıl olacak ?
Peki , başka bir yöntem deneyelim , çarpmada kullandığımız örüntüye benzer bir örüntü oluşturalım.
Örüntüye dikkat ederseniz sol taraf birer birer artarak en son +1 e gelmiş , sağ taraf ise yarım yarım azalarak en son 0 ‘dan da yarım azalacak ve eksiye düşecek - 0.5 olmalı ..
............................
Bu anlatımı pdf formatında indirebilirsiniz
Tam sayılarda çarpma ve bölme pdf
Yorumlar
Yorum Gönder