Tam sayılarda çarpma ve bölme

 Öncelikle klasik anlatıma bakalım , daha sonra her bir işlemi anlamlandıralım .

Tam sayılarda çarpma ve bölmenin kuralları aynıdır .

işaretlerin durumu ;


Aynı işaretlerin çarpımı + , Pozitiftir

 

 

Zıt  işaretlerin çarpımı - , Negatiftir.

 

 

 

Şimdi işlemleri yapalım ;

“işaretle işaret , sayıyla sayı”

çarpılır ya da bölme ise bölünür.

+ , ile + nın çarpımı + dır .


9 ile 5 in çarpımı 45 dir

 -  ile - nin çarpımı + dır .


6 ile 5 in çarpımı 30

 + ile - nin çarpımı - dir .


7 ile 3 ün çarpımı 21 .

 - ile + nın çarpımı - dir.


6 ile 8 in çarpımı 48

Çarpmada geçerli olan kurallar bölme için de geçerlidir ,

+ , + ya bölündü sonuç + oldu.


32 , 8 e bölündü sonuç 4 oldu.

 - , - ye bölündü sonuç + oldu.


24 , 8 e bölündü sonuç 3 oldu .

 

- , + ya bölündü sonuç -

 


42 , 7 ye bölündü sonuç 6 oldu.

+ , - ye bölündü sonuç - oldu.


30 , 15 e bölündü sonuç 2 oldu.

Şimdi neden böyle olduğunu daha detaylı olarak inceleyelim ;

Çarpmanın anlamı ve işaretler

Pozitifle , pozitifin çarpımı ( + ) . (+ ) = ( + )

"Çarpma tekrarlı toplamadır"

Bunu ilkokuldan itibaren yapıyorsunuz , sadece işaretlerini koymuyorduk . 3 ile 5 i çarptığımda aslında +3 ile +5 i çarpıyoruz .

Örneğin ;
3 . 5 = 3 tane 5 i topla , ya da 5 tane 3 ü topla anlamlarına gelir .
( çünkü çarpmada değişme özelliği var )


+ 15

3 tane +5 in toplamı = + 15 yapar.


+15

5 tane 3 ün toplamı ; 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 yapar.

( + 3 ) . ( + 5 ) işleminin 3. 5 işleminden bir farkı yoktur .

3 . 5 de >> 3 tane 5 ya da 5 tane 3 ..

Pozitifle , Negatifin çarpımı ( + ) . ( - ) = ( - )

( +5 ) . ( - 3 ) ya da ( - 5 ) . ( + 3 ) işlemlerinin ne anlama gelebileceğine bakalım ;

5 tane -3 ün toplamı ya da 3 tane -5 in toplamı kaçtır ? anlamlarına gelir .


5 tane -3 = -15


3 tane -5 = - 15

Negatifle , Negatifin çarpımı ( - ) . ( - ) = ( + )

Negatifle , negatifin çarpımı neden pozitif yapar ? anlaşılması en zor olan  durumlardan biridir .

3 ile 5 i çaptığınızda bunun anlamı 3 tane 5 in toplamıdır , ya da 5 tane 3 ün ..peki ,
( -3 ) . ( -5 ) in anlamı ne olabilir ? , -3 tane -5 ..nasıl olacak ? pek mantıksal gözükmüyor ..

 

Bunun ispatını bu seviyede sizlere göstermeyeceğiz ancak , bir örüntüyle negatifle negatifin çarpımın ne olması gerektiğini yorumlayalım ;

Örüntünün sağ ve sol kısımlarına dikkat edin , 3..2..1..0 ve -1 ..-12 , - 8 , -4 , 0 ve -1
Sağ kısımlara baktığımızda , -12 , -8 , -4 , 0 ve ??

sayı doğrusunu hatırlayalım ;

Bölmenin anlamı ve işaretler

Bölme ; Eş gruplandırma demektir.

Verilen bir topluluktan ya grup sayınız ya da bir gruptaki sayı ( madde miktarı ) belli olup , kaç eş grup elde edebileceğimizi hesaplamaktır. Anlaşılması zor olabilir ..

Pozitifle , pozitifin bölümü , ( + ) : ( + ) = +

Bölmeyi ilkokuldan itibaren yapıyorsunuz , sadece işaretlerini koymuyordunuz .
( + 12 ) : ( + 3 ) işlemini modelleyelim ;

 



( + 12 ) : ( + 3) ile , 12:3 arasında herhangi bir fark yoktur .

12:3 anlamı ;
12 yi 3 gruba ayırdığımızda bir grupta kaç olur ? ya da ,
bir grupta 3 tane olacak şekilde ayırdığımızda kaç grup oluşur ?


( + 12 ) : ( + 3 ) = 4

12 yi üç gruba ayırdık , her bir grupta 4 tane + oldu . Sonuç +4

 

+ 12 yi , her bir grupta +3 olacak şekilde grupladığımda 4 tane grup elde ettim .

Negatifin , Negatife Bölümü ( - ) : ( - ) = +

( - 6 ) : ( -2 ) ifadesinin ne anlama geldiğine bakalım ;

( -6 ) yı , -2 gruba ayırdığımda her bir grupta kaç olur ?
( -6 ) yı her bir grupta -2 tane olacak şekilde ayırdığımda kaç grup oluşur ?

-2 grup kulağa biraz saçma geliyor .. -2 tane grup nasıl oluşturabiliriz ki ?
En iyisi diğer anlama bakalım ;
-6 yı , her bir grupta -2 olacak şekilde gruplara ayıralım ;


-6 yı her bir grupta -2 olacak şekilde gruplara ayırdığımda 3 grup elde ettim ,  dolasıyıla negatifin , negatife bölümü pozitiftir .

Negatifin pozitife bölümü ( - ) : ( + ) = ( - )

( - 6 ) : ( +2 ) ye bölelim ;

-6 nın +2 ye bölünmesinin anlamı ;

  • -6 yı 2 gruba ayırdığımızda her bir grupta kaç olur ? ya da  -6 yı bir grupta +2 olacak şekilde eş gruplara ayırdığımızda kaç grup elde edebilirim .
  • -6 nın , her bir grupta +2 olacak şekilde gruplara ayrılması kulağa biraz mantıksız  geliyor , en iyisi -6 yı 2 gruba ayıralım ve bi grupta kaç var ona bakalım .

 

-6 yı , 2 gruba ayırdığımda her bir grupta -3 var ..

Dolayısıla , negatifin , pozitife bölümü negatiftir .

Pozitifin , negatife bölümü ( + ) : ( - ) = ( - )

Modellemesi en zor durumlardan biri pozitifin negatife bölümüdür , çünkü bölmenin anlamından yola çıkarak bir yere varamıyoruz .
Bakalım ;

( + 6 ) : ( -2 ) nin anlamı ;

  • +6 yı , her bir grupta -2 olacak şekilde gruplara ayırdığımda kaç grup elde edebilirim ?
  • +6 yı -2 tane gruba ayırdığımda bir grupta kaç olur ?

Her iki cümle de , kulağa biraz mantıksız gelmekte , bakalım ;

  • “+6 yı , her bir grupta -2 olacak şekilde gruplara ayırdığımda kaç grup elde edebilirim ?”  elimizde 6 tane pul olduğunu düşünelim , her bir grupta -2 elde etmem lazım ,  + pullardan , + sayılardan nasıl - elde edebileceğim ?
  • +6 yı -2 tane gruba ayırdığımda bir grupta kaç olur ? Gruplar somut birşeydir , peki -2 grup nasıl olacak ?

Peki , başka bir yöntem deneyelim , çarpmada kullandığımız örüntüye  benzer bir örüntü oluşturalım.

Örüntüye dikkat ederseniz sol taraf birer birer artarak en son +1 e gelmiş , sağ taraf ise  yarım yarım azalarak en son 0 ‘dan da yarım azalacak ve eksiye düşecek - 0.5 olmalı ..

............................

Bu anlatımı  pdf formatında indirebilirsiniz

Tam sayılarda çarpma ve bölme pdf 

Tüm matematik pdf leri


Yorumlar

Bu blogdaki popüler yayınlar

Doğal Sayılarda Bölme

Kesirlerde Toplama Işlemi

Kesirlerde genişletme